Свойства функции распределения случайной величины X

4. Числовые характеристики дискретных случайных величин

1). Математическое ожидание и его свойства

Вероятностный смысл математического ожидания:

Свойства математического ожидания

2). Дисперсия и ее свойства

Свойства дисперсии:

3). Среднее квадратическое отклонение

Пример. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X,

Замечание. Математическое ожидание и дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Дискретные случайные величины Рассмотрим случайную величину * , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2, ..., xn, ... . Пусть задана функция p(x), значение которой в каждой точке x=xi (i=1,2, ...) равно вероятности того, что величина примет значение xi

Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то

Пример 1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения - числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения? (Решение) Пример 1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения - числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения? (Решение) Пример 2. Пусть случайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p. Множество возможных значений состоит из 2-х чисел 0 и 1: =0, если событие A не произошло, и =1, если событие A произошло. Таким образом,

Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома. Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома. Пусть случайная величина может принимать любое целое неотрицательное значение, причем

Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение) Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение) Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить

Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой

По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины, а по вертикальной оси - значения функции. График функции р(х) изображен на рис. 2. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения.

Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3. Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.

Работа может использоваться для проведения уроков и докладов по предмету "Математика"

Готовые презентации по математике используют в качестве наглядных пособий, которые позволяют учителю или родителю продемонстрировать изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показать примеры по решению задач и уравнений, а также проверить знания. В данном разделе сайта можно найти и скачать множество готовых презентаций по математике для учащихся 1,2,3,4,5,6 класса, а также презентации по высшей математике для студентов ВУЗов.

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Слайд 3

Описание слайда:

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину - число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли (13"): Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину - число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли (13"):

Слайд 6

Описание слайда:

Слайд 7

Описание слайда:

Слайд 8

Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3. Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.

Методическая разработка представляет собой презентацию в электронном виде.

Данная методическая разработка содержит 26 слайдов с кратким содержанием теоретического материала к разделу Случайные величины. Теоретический материал включает в себя понятие случайной величины и логически верно разделен на две части: дискретная случайная величина и непрерывная случайная величина. Тема ДСВ включает понятие ДСВ и способы задания, числовые характеристики ДСВ(математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты, мода, медиана). Приведены основные свойства числовых характеристик ДСВ и связь между ними. В теме НСВ аналогичным образом отраженны вышеуказанные понятия, определены функции распределения СВ и плотности распределения НСВ, указана связь между ними, а также представлены основные виды распределения СВ: равномерное и нормальное распределения.

обобщающем уроке по данной теме.

Данная разработка применима:

• при изучении раздела Случайные величины с демонстрацией отдельных слайдов для эффективного усвоения нового материала путем зрительного восприятия,
• при актуализации опорных знаний учащихся
• при подготовке учащихся к итоговой аттестации по дисциплине.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Содержание Случайные величины Дискретная случайная величина (ДСВ) Закон распределения СВ Числовые характеристики ДСВ Теоретические моменты ДСВ Система двух ДСВ Числовые характеристики системы двух ДСВ Непрерывная СВ Функция распределения НСВ Функция плотности распределения НСВ Числовые характеристики НСВ Кривая распределения СВХ Мода Медиана Равномерное распределение плотности Нормальный закон распределения. Функция Лапласа

Случайные величины Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее до опыта неизвестно, какое именно. Делятся на два типа: дискретные СВ (ДСВ) и непрерывные СВ (НСВ)

Дискретная случайная величина (ДСВ) ДСВ – такая величина,число возможных испытаний которой либо конечно, либо бесконечное множество, но обязательно счетное. Например, частота попаданий при 3 выстрелах – X x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2, x 4 =3 ДСВ будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если будет указано, какую вероятность имеет каждое из событий.

Законом распределения СВ называется соотношение, устанавливающее связь между возможным значением СВ и соответствующими вероятностями. Формы задания закона распределения: Таблица Закон распределения СВ X x 1 x 2 … x n P i p 1 p 2 … p n

2. Многоугольник распределения Закон распределения ДСВ P i X i x 1 x 2 x 3 x 4 p 1 p 2 p 3 p 4 Многоугольник распределения Сумма ординат многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений СВ всегда равна 1

Числовые хар-ки ДСВ Математическое ожидание – сумма произведений значений СВ на их вероятности. Математическое ожидание является хар-кой среднего значения случайной величины

Числовые хар-ки ДСВ Свойства математического ожидания:

Числовые хар-ки ДСВ 2. Дисперсией ДСВХ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания. Дисперсия характеризует меру рассеяния значений СВ от математического ожидания При решении задач дисперсию удобно вычислять по формуле: - Среднеквадратичное отклонение

Числовые хар-ки ДСВ Свойства дисперсии:

Теоретические моменты ДСВ Начальным моментом порядка k СВХ называют математическое отношение Х k Центральным моментом порядка k СВХ называют математическое ожидание величины

Система двух ДСВ Систему двух СВ (Х Y) можно изображать случайной точкой на плоскости. Событие, состоящее в попадании случайной точки (Х Y) в область D обозначают (X,Y) ∩D Закон распределения системы двух ДСВ можно задать таблицей

Система двух ДСВ Таблица, задающая закон распределения системы двух ДСВ Y X y 1 y 2 y 3 … y n x 1 p 11 p 12 p 13 … p 1n x 2 p 21 p 22 p 23 … p 2n x 3 p 31 p 32 p 33 … p 3n … … … … … … x m p m1 p m2 p m3 … p mn

Числовые хар-ки системы двух ДСВ Математическое ожидание и дисперсия системы двух ДСВ по определению При решении задач удобно применять формулу

Непрерывная СВ НСВ называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный). Число всех возможных значений НСВ бесконечно. Пример: Случайное отклонение по дальности точки падения снаряда от цели.

Функция распределения НСВ Функцией распределения называют F(x) , определяющую для каждого значения x вероятность того, что СВХ примет значение, меньшее х, т.е. согласно определению F(x)=P(X

Функция распределения НСВ Свойства функции распределения: если, то следствие: Если все возможные значения x СВХ принадлежат интервалу (a;b) , то при a=b F(x)=0 Следствие: 1. 2. 3. Функция распределения непрерывна слева

Функция плотности распределения НСВ Функцией плотности распределения вероятностей называют первую производную от функции F(x) f(x)=F`(x). f(x) называют дифференциальной функцией. Вероятность того, что НСВХ примет значения, принадлежащие интервалу (a;b) вычисляемые по формуле Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения Свойства: , в частности, если все возможные значения СВ принадлежат (a;b) , то 1. 2.

Числовые хар-ки НСВ Математическое ожидание НСВХ, все возможные значения которой принадлежат интервалу (a;b) , определяется равенством: Дисперсия НСВХ, все возможные значения которой принадлежат интервалу (a;b) , определяется равенством: При решении задач применима формула:

Числовые хар-ки НСВ Среднеквадратичное отклонение определяется так же, как и для ДСВ: Начальный момент k -ого порядка НСВ определяется равенством:

Числовые хар-ки НСВ Центральный момент k- ого порядка НСВХ, все возможные значения которой принадлежат интервалу (a:b) , определяется равенством:

Числовые хар-ки НСВ Если все возможные значения НСВХ принадлежат всей числовой оси ОХ, то во всех вышеуказанных формулах определенный интеграл заменяется несобственным интегралом с бесконечными нижним и верхним пределами

Кривая распределения СВХ Y X М 0 a b График функции f(x) называется кривой распределения кривая распределения Геометрически вероятность попадания СВХ в промежуток (a;b) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения осью ОХ и прямыми x=a и x=b

Мода Модой ДСВХ называется ее наиболее вероятное значение. Модой НСВХ называется такое ее значение M 0 , при котором плотность распределения максимальная. Для нахождения моды НСВ необходимо найти максимум функции с помощью первой или второй производной. M 0 =2 , т.к. 0.1 0.3 Геометрически мода является абсциссой той точки кривой или полигона распределения, ордината которой максимальна X 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 Y X М 0 a b

Медиана Медианой НСВХ называется такое ее значение М е, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина больше или меньше М е, т.е. P(x М е)=0.5 Ордината, проведенная к точке с абсциссой, равной М е, делит пополам площадь, ограниченную кривой или полигоном распределения. Если прямая x=a является осью симметрии кривой распределения y=f(x) , то М 0 =М е = М(Х)= a

Равномерное распределение плотности Равномерным называется распределение таких СВ, все значения которых лежат на некотором отрезке (a;b) и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке Y X a b h Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение равномерно распределенной СВ:

Нормальный закон распределения. Функция Лапласа Нормальный закон распределения характеризуется плотностью Кривая распределения симметрична относительно прямой x=a . Максимальная ордината при x=a равна Y X x=a Кривая Гаусса, нормальная кривая Ось абсцисс является асимптотой кривой y=f(x) Ф (x) - Функция Лапласа